皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统.根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统. 　　皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统.根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统. 　　皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下： 　　①0是自然数； 　　②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a',a'也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,0的后继数是1,1的后继数是2等等）； 　　可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由0,1构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制： 　　③0不是任何自然数的后继数； 　　但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条： 　　④如果b、c的后继数都是自然数a,那么b=c； 　　最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理. 　　⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数0是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n'也真,那么,命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性） 　　注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件. 　　若将只考虑正整数,则公理中的0要换成1. 　　更正式的定义 　　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X,x,f)： 　　1、X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射； 　　2、x不在f的值域内； 　　3、f为一单射. 　　4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A,则f(a)亦属于A则A=X. 　　该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的： 　　1、P(自然数集)不是空集； 　　2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射； 　　3、后继元素映射像的集合是P的真子集； 　　4、若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合. 　　能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理! 　　例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据. 　　加法的定义 　　我们定义,加法是满足以下两种规则的运算： 　　1.对于任意自然数m,0+m=m； 　　2.对于任意自然数m和n,n'+m=（n+m）'. 　　有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了. 　　加法性质1+1=2 　　1+1 　　=0’+1（根据自然数的公理） 　　=（0+1)’（根据加法定义2） 　　=1’（根据加法定义1） 　　=2（根据自然数的公理） 　　结合律 　　要证对任意的a,下述命题成立： 　　对任意的b,c,有(a+b)+c=a+(b+c) 　　当a=0时 　　(0+b)+c=b+c(加法定义1)=0+(b+c)(加法定义1),命题成立. 　　假设命题对a成立,则对a' 　　任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立. 　　由公理5,命题成立.由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c 　　m'=m+1 　　当m=0时,0'=1=0+1,命题成立.假设命题对m成立,则对m',m''=(m+1)'=m'+1,命题也对.由公理5,命题对任意自然数m成立. 　　m+0=m 　　当m=0时,由加法定义1即得.由加法定义2知,如果它对自然数n为真时,可以证明它对n'也真.由自然数公理5之,它为真. 　　交换律 　　要证对任意的自然数n下述命题为真： 　　对任意自然数m,m+n=n+m. 　　现在,由上一段知,对n=0命题为真. 　　假设对命题n命题对,则对n' 　　m+n'=m+(0+n)'=m+(0'+n)=m+(1+n)=(m+1)+n=m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n'+m,命题也对. 　　由公理5,即知交换律成立. 　　乘法 　　乘法是满足以下两种规则的运算： 　　1.对于任意自然数m,0*m=0； 　　2.对于任意自然数m和n,n'*m=（n*m）+m. 　　有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相乘的结果都能确定出来了. 　　可以证明,乘法满足下列几个性质： 　　1.乘法交换律:a*b=b*a; 　　2.乘法结合律:a*(b*c)=(a*b)*c; 　　3.乘法分配率:a*(b+c)=a*b+a*c. 　　减法和除法 　　定义整数为自然数对（a,b）,定义(a,b)=(c,d)如果a+d=b+c.定义整数加法为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),定义(a,b)的相反数为（b,a）.将(a,0)和a等同.则可以证明自然数是整数的一部分,加法的定义是相符的.这样,在整数上,我们有相反数的概念.整数和它相反数的和是0,0和任意整数的和是其自身.在整数上,定义a-b为a+(b的相反数).可以验证,这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的. 　　进一步定义有理数为整数对[a,b]其中b非零.定义[a,b]=[c,d]如果ad=bc.定义有理数乘法为[a,b]*[c,d]=[a*c,b*d],定义[a,b]的倒数为[b,a],如果a,b非零.定义有理数加法为[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd],定义[a,b]的相反数为[-a,b],定义a-b为a+(b的相反数).将[a,1]和a等同,则可以证明整数是有理数的一部分,加法减法乘法的定义是相符的.这样,在非零有理数上,我们有倒数的概念.非零有理数和它倒数的积是1,1和任意有理数的和是其自身.在有理数上,定义